... ביותר? המקרה הפשוט ביותר הוא כאשר אין שום עמודים כלשהם. (0,0,0,0,0,0) כמה מים כלואים יהיו במקרה כזה?
תשובה: 0. ועכשיו נלך למקרה קצת יותר מורכב. מה יהיה במקרה של עמוד 1 בגובה של 1? (0,0,1,0,0,0) כמה מים יכול העמוד הזה להחזיק?
תשובה: 0. כי עמוד 1 לא יכול לאגור בתוכו מים. ואיך נדע אם זה נכון? אולי אנחנו מפספסים משהו? אולי זה שהעמוד לא אוגר מים זה בגלל הגובה שלו?
תשובה: ננסה לבדוק מקרה שיש עמוד 1 בגובה של 100 או של 1000. (0,0,100,0,0,0) (0,0,1000,0,0,0) מה יקרה במקרה כזה? כמה מים ייאגרו?
תשובה: 0. או במילים אחרות, אנחנו יודעים בוודאות, שכל עמוד בודד בכל גובה, לא יאגור בתוכו מים. שזה גם נשמע הגיוני. כי כדי לאגור מים צריך 2 עמודים שיחזיקו ביניהם את המים. עכשיו ... באותו הגובה. לדוגמה 2 עמודים בגובה 100. (0,0,100,100,0,0) מה יקרה במקרה כזה? כמה מים הם יאגרו ביניהם?
תשובה: 0. שני עמודים צמודים, לא יאגרו בתוכם מים. ומה יקרה אם 2 העמודים יהיו בגובה שונה, אבל עדיין צמודים, לדוגמה עמוד בגובה 100 ליד עמוד בגובה 50. (0,0,100,50,0,0) מה יקרה?
תשובה: עדיין 2 העמודים לא יאגרו בתוכם מים. במילים אחרות. אנחנו בטוחים, ש 0 עמודים או עמוד 1 או 2 עמודים צמודים אחד לשני, לא משנה מה הגבהים שלהם, הם לא אוגרים מים. עכשיו ננסה ... מורכב, שמייצג 2 עמודים בגובה 100 שביניהם יש מקום בלי שום עמוד. (0,100,0,100,0) כמה מים יאגרו במקרה הזה?
התשובה תהיה 100. כי במקום שאין עמוד, מפלס המים יהיה 100. ומה יקרה במקרה שמייצג 2 עמודים בגובה 50 שביניהם יש מקום 1 בלי שום עמוד. (0,50,0,50,0) כמה מים יאגרו במקרה הזה?
התשובה תהיה 50. כי במקום שאין עמוד, מפלס המים יהיה 50. אז מהי החוקיות שגילינו עד עכשיו? חוקיות 1 היא, שהגובה של מפלס המים תלוי בגובה של העמודים. חוקיות 2 היא, שהמים שנאגרים, ... של 100 ועמוד שני בגובה של 50, שיש ביניהם מקום 1 ריק בלי עמודים. (0,100,0,50,0) כמה מים ייאגרו במקרה הזה?
התשובה תהיה 50. כי גובה המפלס של המים, מוגבל לגובה של העמוד הדופן הנמוכה ביותר שמחזיקה את המים. ומה לדוגמה יקרה במקרה שמייצג 2 עמודים, עמוד ראשון בגובה של 100 ועמוד שני בגובה של 200, שיש ביניהם מקום 1 ריק בלי עמודים. (0,100,0,200,0) כמה מים ייאגרו במקרה הזה?
התשובה תהיה 100. כי כנל גובה המפלס של המים, מוגבל לגובה של העמוד הדופן הנמוכה ביותר שמחזיקה את המים. דהיינו, אנחנו מבינים, שהגובה של מפלס המים לעולם לא יהיה יותר גבוה מהגובה של ... שיש בו: עמוד של 25, מקום ריק, עמוד של 100, מקום ריק, עמוד של 50. (0,25,0,100,0,50,0) מה יקרה במקרה הזה?
התשובה היא, שבין העמוד של ה 100 לבין העמוד של ה 25, גובה המים יהיה 25. ובין העמוד של ה 100 לבין העמוד של ה 50, הגובה יהיה 50. כי שוב כנל הגובה של המים יהיה בהתאם לגובה של העמוד ... שיש בו: עמוד של 100, מקום ריק, עמוד של 25, מקום ריק, עמוד של 50. (0,100,0,25,0,50,0) מה יקרה במקרה הזה?
התשובה היא, שגובה מפלס המים (לא כמות המים אלא מפלס המים), בין ה 100 לבין העמוד של ה 25 יהיה 50. דהיינו, גובה מפלס המים שתחומים בין ה 25 לבין ה 100 יהיה 50 ולא יהיה בהתאם לגובה ... אז האם יהיה נכון לומר, שתמיד גובה מפלס המים יהיה בהתאם לגובה של העמוד הנמוך ביותר שתוחם ומגביל את המים?
תשובה : לא. כי במקרה הזה לדוגמה, הגובה יהיה 50 כנל. וגם בין העמוד 50 לבין העמוד 25, גם שם גובה המים יהיה 50. כי העמוד של ה 100 מאגף מצד שמאל, את העמוד של ה 25 ולכן יכולים להיות ... הכי גבוה מצד ימין ומהו העמוד הכי גבוה מצד שמאל, כדי שנוכל לדעת את הגובה המקסימאלי האפשרי של מפלס המים?
תשובה: נעצור כאן לרגע בתהליך וננסה לחשוב על הדברים בצורה אחרת יותר פשוטה. ננסה להבין טוב יותר את המשימה של לחפש בכל נקודה, את העמוד הגבוה ביותר מצד ימין ואת העמוד הגבוה ביותר ... האם באמת אנחנו תמיד צריכים לעשות את 3 החישובים האלו, כדי לדעת מהו מפלס המים האפשרי בכל נקודה? ולכאורה
התשובה היא שכן. כי אנחנו צריכים לדעת מה הגובה הגבוה ביותר של העמודים שתוחמים את המים וכולי כנל. אבל זאת לא כל האמת. למה? אז ננסה לדייק את מה שהבנו עד כה. הבנו כי כדי לדעת מה ... את הנקודה הגבוה ביותר מצד ימין ואת הנקודה הגבוה ביותר מצד שמאל, אז נוכל לדעת את גובה מפלס המים כנל?
תשובה: כן. הטענה הנל היא אמת. אבל האם מכך ניתן להסיק שבהכרח צריך לדעת בכל נקודה את גובה 2 הנקודות הגבוהות ביותר שתוחמות את אותה הנקודה?
תשובה: לא. ואני אסביר. למה אנחנו מחפשים את הנקודה הגבוה ביותר, מ 2 הצדדים של הנקודה הנוכחית? למה שלא נסתפק ב 2 נקודות גובה כלשהן, לצידי המיקום הנוכחי שלנו?
תשובה: כי אולי מפלס המים יכול להיות גבוה יותר, מאשר 2 הנקודות האקראיות שנמצאות לצד הנקודה הנוכחית שלנו. לדוגמה במקרה של: (5,4,3,2,1,2,3,4,5) גובה מפלס המים היכן שנמצא העמוד ... חייבים למצוא את 2 הנקודות הגבוהות ביותר משני הצדדים של המיקום הנוכחי שלנו. אבל האם זאת באמת כל האמת?
והתשובה היא, שלא! ולמה, כי בסופו של דבר, מפלס המים מוגבל לגובה של העמוד הנמוך ביותר מבין 2 העמודים ההכי גבוהים שנמצאים לצידי המיקום הנוכחי שלנו. ומאחר שאנחנו מוגבלים לגובה הנמוך ... ימין. האם זה משנה לנו אם העמוד בגובה של 1, תחום ב 5+200 או ב 5+300 או ב 5+כל מספר אחר שגבוה מהמספר 5?
התשובה היא שלא. כי בכל מקרה מפלס המים לא יהיה גבוה יותר מ 5. וזה בעצם אומר, שאם אנחנו יודעים מה הגובה הגבוה ביותר מצד 1 כלשהו של המיקום הנוכחי, הרי שאנחנו כבר לא צריכים לדעת מה ... שהגובה שלו הוא 6. וננסה להבין מה אנחנו יכולים להסיק מכך? האם יש משהו שאנחנו יכולים להסיק מכך בוודאות? אז
התשובה היא, שאולי כן. כי בעצם אנחנו יודעים שבמיקום 20, העמוד הגבוה ביותר הוא בגובה של 6. דהיינו, אנחנו כבר יכולים לדעת בוודאות, שלא משנה מה, גובה המים במיקום 20, לא יהיה גבוה ... על הנקודה הראשונה מצד שמאל, העמוד הראשון, שהוא בגובה של 3. האם מכך אנחנו יכולים להסיק משהו בוודאות?
התשובה היא, שכן! כי אנחנו יודעים שהעמוד הגבוה ביותר מצד שמאל, דהיינו, העמוד הראשון הוא בגובה 3. ולכן אנחנו יודעים בוודאות שגובה המים לא יהיה יותר גבוה מ 3. אבל האם הוא יהיה אולי פחות מ 3?
התשובה היא שלא. הוא יהיה בדיוק 3. ולמה? כי אנחנו יודעים גם שמצד ימין של המיקום הראשון, יש עמוד בגובה של 6, שהוא העמוד הימני ביותר כנל. או במילים אחרות, מכך שאנחנו יודעים שהעמוד ... הקרובה ביותר, לנקודה במיקום מספר 2, שהגובה שם הוא 1. ונשאל, האם יש משהו שאנחנו יכולים לדעת שם בוודאות?
והתשובה היא, שכן! כי בוודאות שבמיקום השמאלי של המיקום השני, דהיינו, במיקום הראשון, בוודאות שגובה מפלס המים הוא 3. ובמיקום השני גובה העמוד הוא 1. דהיינו, גובה העמוד הוא לא גבוה ...