אחד ועוד אחד שווה שלוש, אחד ועוד אחד שווה שתיים, אחד ועוד אחד לא שווה שתיים, 1 ועוד 1 שווה 3, 1 ועוד 1 שווה 2, 1 ועוד 1 לא שווה 2, הפילוסופיה של המתמטיקה, הוכחה מתמטית, הוכחה לוגית
האם באמת אחד ועוד אחד שווה שתיים?
אליעד כהן דן בהרצאה זו בשאלה הפילוסופית והמתמטית האם "אחד ועוד אחד שווה שתיים" והאם אפשר בכלל להוכיח שזוהי האמת המוחלטת. הוא פותח בהסבר כי הקביעה "אחד ועוד אחד שווה שתיים" אינה עובדה מוחלטת בפני עצמה, אלא תלויה באופן שבו אנחנו מגדירים את המושגים. לדוגמה, אם ניקח שתי אצבעות ונקרא לאחת "אחד" ולשנייה גם "אחד", וביחד נקרא להן "שתיים", הרי שזה נכון אך ורק לפי ההגדרה שהחלטנו עליה מראש. כלומר, "שתיים" היא שם שנתנו לסך הכל של שתי יחידות.
עם זאת, אליעד מסביר כי עצם העובדה שקראנו לזה "שתיים" אינה מונעת מאיתנו לקרוא לסך הזה בשמות אחרים, כמו שלוש או ארבע. המשמעות היא שמה שנראה כמו עובדה מתמטית מוחלטת, הוא בעצם עניין של הגדרה והסכמה בלבד, והוא מביא לכך דוגמה נוספת: אם נגדיר עצם אחד כ"אחת" ועצם נוסף גם כ"אחת", ואחר כך נגדיר את התוצאה כ"שלוש", נקבל למעשה "אחד ועוד אחד שווה שלוש". זו לא תהיה טעות, כי לפי ההגדרה שבחרנו מראש, התוצאה תהיה נכונה לחלוטין.
מה ההבדל בין הגדרה להוכחה?
אליעד מדגיש שחשוב להבחין בין הגדרה לבין הוכחה מתמטית. כאשר אנו אומרים "אחד ועוד אחד שווה שתיים", אנו למעשה מסתמכים על הגדרה שרירותית, ולכן אי אפשר להוכיח או להפריך אותה כשלעצמה. אך כדי להוכיח שאחד ועוד אחד אינו שווה לשלוש, לא מספיק רק להגדיר מהו "שתיים", אלא צריך גם להניח במפורש מה הוא אינו. כלומר, כדי לקבוע בבירור שאחד ועוד אחד שווה אך ורק שתיים ולא שלוש, עלינו להגדיר במפורש ששתיים ושלוש הם שני דברים שונים לגמרי, ואין סיכוי שיתערבבו זה עם זה.
הוא מדגיש שהבעיה נעוצה בכך שהמוח האנושי מניח באופן לא מודע הנחות נוספות כשהוא מתייחס לפעולות פשוטות. לדוגמה, כאשר אנו אומרים "אחת ועוד אחת זה שתיים", המוח שלנו אוטומטית מניח כי שתי הישויות הללו לא יכולות להיות בו זמנית גם משהו אחר. אנחנו מניחים בלי לשים לב ש"שתיים" הוא מספר מוגדר היטב ונבדל מכל מספר אחר, כמו "שלוש".
איך אפשר להוכיח שאחד ועוד אחד לא שווה שלוש?
אליעד נותן דוגמה נוספת באמצעות אצבעות: נניח שאנו מגדירים אצבע אחת כ"אחת", אצבע נוספת גם כ"אחת", ואת הצירוף של שתיהן כ"שתיים". האם זה מוכיח שהצירוף שלהן לא יכול להיקרא גם "שלוש"? לדבריו, התשובה שלילית, כי אם לא נגדיר מראש ש"שתיים" שונה מ"שלוש", לא ניתן להוכיח באופן חד משמעי שהתוצאה לא יכולה להיות "שלוש".
כלומר, כדי להוכיח שאחד ועוד אחד הם אך ורק שתיים, עלינו להניח הנחה נוספת, שמספר מסוים לא יכול להיות שני דברים שונים בו זמנית. ולכן, כל פעם שאנחנו אומרים "אחד ועוד אחד זה שתיים", אנו עושים זאת תוך הסתמכות על הנחות לא - מפורשות שעלולות להיות נסתרות.
מהן ההנחות הסמויות בפעולות חשבון פשוטות?
אליעד מדגים כיצד הנחות סמויות מופיעות בכל פעולה מתמטית שאנו עושים:...
אליעד כהן דן בהרצאה זו בשאלה הפילוסופית והמתמטית האם "אחד ועוד אחד שווה שתיים" והאם אפשר בכלל להוכיח שזוהי האמת המוחלטת. הוא פותח בהסבר כי הקביעה "אחד ועוד אחד שווה שתיים" אינה עובדה מוחלטת בפני עצמה, אלא תלויה באופן שבו אנחנו מגדירים את המושגים. לדוגמה, אם ניקח שתי אצבעות ונקרא לאחת "אחד" ולשנייה גם "אחד", וביחד נקרא להן "שתיים", הרי שזה נכון אך ורק לפי ההגדרה שהחלטנו עליה מראש. כלומר, "שתיים" היא שם שנתנו לסך הכל של שתי יחידות.
עם זאת, אליעד מסביר כי עצם העובדה שקראנו לזה "שתיים" אינה מונעת מאיתנו לקרוא לסך הזה בשמות אחרים, כמו שלוש או ארבע. המשמעות היא שמה שנראה כמו עובדה מתמטית מוחלטת, הוא בעצם עניין של הגדרה והסכמה בלבד, והוא מביא לכך דוגמה נוספת: אם נגדיר עצם אחד כ"אחת" ועצם נוסף גם כ"אחת", ואחר כך נגדיר את התוצאה כ"שלוש", נקבל למעשה "אחד ועוד אחד שווה שלוש". זו לא תהיה טעות, כי לפי ההגדרה שבחרנו מראש, התוצאה תהיה נכונה לחלוטין.
מה ההבדל בין הגדרה להוכחה?
אליעד מדגיש שחשוב להבחין בין הגדרה לבין הוכחה מתמטית. כאשר אנו אומרים "אחד ועוד אחד שווה שתיים", אנו למעשה מסתמכים על הגדרה שרירותית, ולכן אי אפשר להוכיח או להפריך אותה כשלעצמה. אך כדי להוכיח שאחד ועוד אחד אינו שווה לשלוש, לא מספיק רק להגדיר מהו "שתיים", אלא צריך גם להניח במפורש מה הוא אינו. כלומר, כדי לקבוע בבירור שאחד ועוד אחד שווה אך ורק שתיים ולא שלוש, עלינו להגדיר במפורש ששתיים ושלוש הם שני דברים שונים לגמרי, ואין סיכוי שיתערבבו זה עם זה.
הוא מדגיש שהבעיה נעוצה בכך שהמוח האנושי מניח באופן לא מודע הנחות נוספות כשהוא מתייחס לפעולות פשוטות. לדוגמה, כאשר אנו אומרים "אחת ועוד אחת זה שתיים", המוח שלנו אוטומטית מניח כי שתי הישויות הללו לא יכולות להיות בו זמנית גם משהו אחר. אנחנו מניחים בלי לשים לב ש"שתיים" הוא מספר מוגדר היטב ונבדל מכל מספר אחר, כמו "שלוש".
איך אפשר להוכיח שאחד ועוד אחד לא שווה שלוש?
אליעד נותן דוגמה נוספת באמצעות אצבעות: נניח שאנו מגדירים אצבע אחת כ"אחת", אצבע נוספת גם כ"אחת", ואת הצירוף של שתיהן כ"שתיים". האם זה מוכיח שהצירוף שלהן לא יכול להיקרא גם "שלוש"? לדבריו, התשובה שלילית, כי אם לא נגדיר מראש ש"שתיים" שונה מ"שלוש", לא ניתן להוכיח באופן חד משמעי שהתוצאה לא יכולה להיות "שלוש".
כלומר, כדי להוכיח שאחד ועוד אחד הם אך ורק שתיים, עלינו להניח הנחה נוספת, שמספר מסוים לא יכול להיות שני דברים שונים בו זמנית. ולכן, כל פעם שאנחנו אומרים "אחד ועוד אחד זה שתיים", אנו עושים זאת תוך הסתמכות על הנחות לא - מפורשות שעלולות להיות נסתרות.
מהן ההנחות הסמויות בפעולות חשבון פשוטות?
אליעד מדגים כיצד הנחות סמויות מופיעות בכל פעולה מתמטית שאנו עושים:...
- האם אחד ועוד אחד שווה שתיים?
- האם אחד ועוד אחד יכול להיות שווה שלוש?
- מהי הוכחה מתמטית?
- האם מתמטיקה היא רק הגדרות?
- הפילוסופיה של המתמטיקה
050-3331-331