... קטנה ונתן תשובה לא נכונה. למרות שהמסקנה שלו לא הייתה מדויקת, ניתן לראות שהוא חשב בצורה נכונה וביצע את התהליך המתמטי בצורה נכונה. לעומתו, תלמיד אחר יכול לשנן תשובה נכונה אך לא להבין את הדרך בה הגיע אליה. במקרה זה, התלמיד הראשון הראה חשיבה חכמה למרות הטעות, בעוד שהתלמיד השני רק נתן תשובה נכונה ... חכמים ללא חשיבה ניקח לדוגמה את מנוע החיפוש של גוגל. גוגל יכול לספק לנו תשובות חכמות ונכונות כמעט לכל שאלה שנשאל - מתמטיקה, מדע, פילוסופיה ועוד. בתוך שניות הוא מחזיר לנו מידע שמופיע באתרים רבים, ומנגיש לנו אותו בצורה ברורה. אך האם גוגל הוא חכם? לא. גוגל מסוגל להגיד דברים חכמים, אך הוא לא חושב באמת. ... מאחורי דבריו, הרי שהוא רק חוזר על מידע, ולא באמת חושב. דוגמה לחשיבה חכמה לעומת מסקנה שגויה נניח שילד פותר תרגיל מתמטי ועובר את כל שלבי החישוב בצורה נכונה, אך בסוף הוא עושה טעות קטנה ונותן תשובה לא נכונה. למרות שהמסקנה שלו לא מדויקת, ניתן לראות שהוא חשב בצורה נכונה וביצע את התהליך המתמטי כפי שצריך. לעומתו, תלמיד אחר יכול לכתוב את התשובה הנכונה ישירות מהזיכרון או מהעתקה, מבלי להבין כיצד הגיע אליה. במקרה כזה, הראשון הפגין חשיבה חכמה למרות הטעות, בעוד שהשני רק נתן ...

... קל יותר לזכור את השיחה. וזה משום, שהמידע יושב בתוך הראש של האדם, בצורה מאורגנת ומסודרת. סוג מידע נוסף, הוא מסקנות שכליות. כגון לדוגמה, נוסחאות במתמטיקה חוקים בפיזיקה וכיוב. גם כאן, הדרך הכי טובה לזכור את הנוסחאות השונות, היא על ידי זה שמבינים את ההיגיון ואת השכל של הנוסחאות האלו. נכון, זה לא בהכרח קל. אבל זה בטוח עובד. ...

... גם לדוגמה, ילדים לא מתעניינים בלימודי היסטוריה וכיוב. משום, שלימודי ההיסטוריה, הם לימודים על אירועים שכבר התרחשו בעבר. והילד לא מצליח להבין בשום דרך, כיצד הלימודים האלו ייצרו לו הנאות חדשות. וכיוב, גם לימודי המתמטיקה. שגם אותם, רוב הילדים, לא אוהבים. משום, שהלימודים האלו הם מופשטים מידי, ולא מייצרים שום ...

... מדובר על לימודי המתמטיקה, הרי שגם הם מביאים לאדם תועלת מעשית לחייו. ואיך? על ידי זה שהאדם מרגיל את עצמו לחשוב בצורה מאוד מסוימת. כי המתמטיקה, למרות שנדמה שהיא עוסקת במספרים, ושמשום כך היא נקראת תורת המספרים, הרי שמצד האמת, המתמטיקה היא עוסקת, בדרך לתרגל פתרון בעיות, בעולם האמיתי. כי את לימודי המתמטיקה, ניתן לחלק לשני חלקים. יש את החלק של הידע שאותו האדם רוכש. כגון לדוגמה את לוח הכפל. שהאדם לומד את כל הכפולות של המספרים. וברמה הזאת וכיוב, האדם אכן באמת משתמש במידע הזה, גם ... אבל עיקר לימודי המתמטיקה וגם לימודי הגיאומטריה וכיוב, מה שהאדם באמת לומד, זה לא איך לחשב שטח של משולש. כי האדם, בשום שלב בחייו, לא יזדקק לחשב של שטח של משולש. והדבר האחרון שאמור לעניין אדם נורמאלי, ... שלו. כי לנוסחה במתמטיקה, יש משמעות. ולכל דבר, יש משמעות כלשהי, שיכולה לעזור לאדם, בדרך כלשהי. ואם נסתכל לרגע אחד על לימודי האלגברה, לימודי המשוואות, ולימודי הגיאומטריה וכיוב, הרי שבאמת, הלימודים ... וכל הכללים של המתמטיקה, יש להם משמעות ממשית ומעשית כלשהי. ואם ניקח לדוגמה, את עניין המשוואות עם הנעלמים. אז אחד מהכללים אומר, שכל פעולה שעושים באגף אחד, הרי שיש לעשות את הפעולה הזאת, גם באגף השני ... בא לידי ביטוי, בכלל המתמטי. שכאשר עושים פעולה על צד אחד של המשוואה, הרי שיש לעשות זאת גם בצד השני. ודרך התרגיל הזה, אם התלמיד מבין את השכל שיש מאחורי הכלל הזה, ואם התלמיד מבין את המשמעות של הכלל המתמטי הזה לחייו האישיים, הרי שקודם כל הוא יבין את הכלל הזה, והוא גם יזכור אותו בלי שום בעיה, והוא גם יבין מעצמו איך לפתור תרגילים נוספים, וגם הוא מצא תועלת כלשהי, בכך שהוא למד את ... וכל התהליכים שיש במתמטיקה, כולם בצורה כלשהי, יש להם משמעות מעשית וממשית, לחיי היום יום של האדם. ...

... כיצד המידע שאותו הוא מלמד, כיצד הוא שימושי בחיי היום יום של התלמידים. ואם נחזור לדוגמה, לעניין של הכלל במתמטיקה, שאומר, שכל פעולה שמבצעים על צד אחד של המשוואה, מבצעים אותה גם על הצד השני, הרי שבשלב הראשון, על המורה לנסות להבין בעצמו, את המשמעות לחיים של הכלל המתמטי הזה. ועכשיו, על המורה לנסות להתבונן, כיצד התלמידים, בחיים האישיים שלהם, ... בא לידי ביטוי אצלם. ועל המורה לנסות להבין אל מול עצמו, כיצד זה שהתלמידים יבינו טוב יותר, את הסיבה שבגללה הכלל המתמטי הזה, הוא כפי מה שהוא, כיצד זה ישפר את צורת המחשבה שלהם, ואת החיים האישיים ...

... יגלה האדם איזה דבר שיהפוך את כל הקערה על פיה. והדבר דומה למספר מאוד ארוך, שבקצה הראשון או האחרון שלו מופיע סימן מתמטי שהופך את כל המספר הגדול הזה, ממספר חיובי למספר ...

... שאלה: רציתי להגיד משהו איך שני קווים מקבילים נפגשים אליעד: עשו חישוב מתמטי, ששני קווים מקבילים נפגשים, זה לא הגיוני, כי במהות זה הפוך, איך זה הפוך? קווים מקבילים כל ההגדרה שלהם שהם לא נפגשים לעולם, ופה אומרים שאחרי העולם הם נפגשים, זה דבר והיפוכו. ...

... הוא עדיין מסוגל לשמור בתוכו על התבוננות פנימית. ההתבוננות הזו היא לא פעולה נוספת, אלא היא הגישה או המודעות שמתלווה לפעולה שכבר מתבצעת. אליעד נותן דוגמה פשוטה: אדם שפותר תרגיל במתמטיקה עבור לימודיו. למרות שהוא מתרכז בפתרון התרגיל עצמו, הרי שמעבר לריכוז במשימה קיימת ... חיצונית כמו כתיבה, עבודה או כל משימה אחרת, הוא עדיין יכול להתמקד בשאלה עמוקה יותר שתגרום לו להתבונן בפעולה מזווית אחרת, פנימית ורוחנית יותר. לדוגמה, אדם שמתרכז לפתור תרגיל מתמטי יכול לתפקד טוב יותר אם הוא שואל תוך כדי התהליך שאלות כמו: למה אני פותר את זה?, למה ...

... דבר מסוים - הוא נמצא במצב של חוסר ידע אך לא מנסה להבין מדוע הוא לא יודע. 2. אדם שאינו יודע אך בודק מדוע הוא לא יודע - כאן האדם חוקר את הסיבה שהביאה אותו למצב של חוסר וודאות. לדוגמה, תלמיד במתמטיקה שמתקשה בפתרון תרגיל יכול לבחור בגישה הראשונה ולהגיד לעצמו: אני ... אינו מנסה להבין מדוע הוא לא יודע. 2. אדם אינו יודע והוא בוחן מדוע הוא אינו יודע - זהו שלב מתקדם יותר שבו האדם מתחיל לחקור את מקור חוסר הוודאות שלו. לדוגמה, תלמיד בבית הספר שמתקשה בפתרון תרגיל במתמטיקה יכול לגשת לשתי דרכים: - לומר לעצמו שהוא פשוט לא יודע וזהו. - ...

... אסטרטגיה, כגון שחמט סודוקו וכיוב. ולחזק את השכל, אפשר לעשות זאת אפילו על ידי פתירת תרגילים מורכבים במתמטיקה או בכל תחום המדעים המדויקים. והרעיון הוא, שחיזוק השכל הוא כפשוטו ממש. שעל האדם לעשות כמה ...