... ביכולת להבין את המידע לעומק, לשאול שאלות, ולבצע ניתוח עצמאי. דוגמה לחשיבה חכמה לעומת מסקנה שגויה אליעד מביא דוגמה מתמטית שבה ילד פותר תרגיל בצורה נכונה, אך בסופו של דבר עשה טעות קטנה ונתן תשובה לא נכונה. למרות שהמסקנה שלו לא הייתה מדויקת, ניתן לראות שהוא חשב בצורה נכונה וביצע את התהליך המתמטי בצורה נכונה. לעומתו, תלמיד אחר יכול לשנן תשובה נכונה אך לא להבין את הדרך בה הגיע אליה. במקרה זה, ... ניקח לדוגמה את מנוע החיפוש של גוגל. גוגל יכול לספק לנו תשובות חכמות ונכונות כמעט לכל שאלה שנשאל - מתמטיקה, מדע, פילוסופיה ועוד. בתוך שניות הוא מחזיר לנו מידע שמופיע באתרים רבים, ומנגיש לנו אותו בצורה ברורה. אך האם ... הרי שהוא רק חוזר על מידע, ולא באמת חושב. דוגמה לחשיבה חכמה לעומת מסקנה שגויה נניח שילד פותר תרגיל מתמטי ועובר את כל שלבי החישוב בצורה נכונה, אך בסוף הוא עושה טעות קטנה ונותן תשובה לא נכונה. למרות שהמסקנה שלו לא מדויקת, ניתן לראות שהוא חשב בצורה נכונה וביצע את התהליך המתמטי כפי שצריך. לעומתו, תלמיד אחר יכול לכתוב את התשובה הנכונה ישירות מהזיכרון או מהעתקה, מבלי להבין כיצד הגיע אליה. ...

להקשיב לעצמך, הקול הפנימי, אין סוף נקודות, סוגים של אין סוף, אינסוף נקודות, אינסוף במתמטיקה, להקשיב ללב, קונפליקט פנימי, גדלים של אינסוף, סוגים שונים של אינסוף, ללכת אחרי הלב מהם השלבים המרכזיים בניתוח טקסט ... הנקודות הקיימות בין שתי נקודות במרחב. הוא מסביר כי בין שתי נקודות ניתן ליצור אינסוף נקודות, ומציג את הפרדוקס המתמטי שבו אינסוף מסוג אחד יכול להיות שונה מאינסוף מסוג אחר. לדבריו, האינסוף שאנו מתמודדים איתו ביום - יום הוא ...

אחוזים, מה זה אחוזים? איך למצוא אחוזים? איך לחשב אחוזים? מושגי יסוד במתמטיקה, הסבר אחוזים, איך מוצאים אחוזים ממספר? חישוב אחוזים ללא מחשבון, נוסחה למציאת אחוזים, נוסחאות לאחוזים, נוסחה לאחוזים, חישוב מעמ, חלק 2 מה זה אחוז ואיך מחשבים אחוזים באופן פשוט? אחוז הוא מושג מתמטי בסיסי המתאר חלק יחסי מתוך מאה. המילה אחוז בעצם מתארת מאית אחת מתוך מאה חלקים שווים של שלם כלשהו. ...

אושר וסבל, הלוגיקה של האושר, הלוגיקה של הסבל, לא מחויב להרגיש רע, התמודדות עם אובדן, הנוסחה של האושר, המתמטיקה של האושר, אושר יחסי, אושר מוחלט, לא תמיד יש חיסרון מהם הגורמים לסבל במצבים שנראים כמחויבים? השיחה מתחילה בשאלה ...

אחוזים, מה זה אחוזים? איך למצוא אחוזים? איך לחשב אחוזים? מושגי יסוד במתמטיקה, הסבר אחוזים, איך מוצאים אחוזים ממספר? חישוב אחוזים ללא מחשבון, נוסחה למציאת אחוזים, נוסחאות לאחוזים, נוסחה לאחוזים, חישוב מעמ, ...

... המורה יכול למצוא אלפי תובנות שהוא למד לחייו האישיים, מהאירועים שקרו לפני אלפי שנים. ואם לדוגמה מדובר על לימודי המתמטיקה, הרי שגם הם מביאים לאדם תועלת מעשית לחייו. ואיך? על ידי זה שהאדם מרגיל את עצמו לחשוב בצורה מאוד מסוימת. כי המתמטיקה, למרות שנדמה שהיא עוסקת במספרים, ושמשום כך היא נקראת תורת המספרים, הרי שמצד האמת, המתמטיקה היא עוסקת, בדרך לתרגל פתרון בעיות, בעולם האמיתי. כי את לימודי המתמטיקה, ניתן לחלק לשני חלקים. יש את החלק של הידע שאותו האדם רוכש. כגון לדוגמה את לוח הכפל. שהאדם לומד ... של המספרים. וברמה הזאת וכיוב, האדם אכן באמת משתמש במידע הזה, גם כילד וגם כאדם בוגר. אבל עיקר לימודי המתמטיקה וגם לימודי הגיאומטריה וכיוב, מה שהאדם באמת לומד, זה לא איך לחשב שטח של משולש. כי האדם, בשום שלב ... המורה לנסות להתמקד ולמקד את התלמידים, לא בידע עצמו ובנוסחה עצמה ובכלל הדקדוק עצמו, אלא במשמעות שלו. כי לנוסחה במתמטיקה, יש משמעות. ולכל דבר, יש משמעות כלשהי, שיכולה לעזור לאדם, בדרך כלשהי. ואם נסתכל לרגע אחד על לימודי האלגברה, ... את החשיבה של התלמיד. כדי שהוא ישפר את היכולת שלו, לחשוב על דברים בצורה יותר מופשטת. וכל הכללים של המתמטיקה, יש להם משמעות ממשית ומעשית כלשהי. ואם ניקח לדוגמה, את עניין המשוואות עם הנעלמים. אז אחד מהכללים אומר, שכל ... משנה משהו אחד, הדבר הזה משנה גם את כל שאר הדברים שתלויים בו. והדבר הזה בא לידי ביטוי, בכלל המתמטי. שכאשר עושים פעולה על צד אחד של המשוואה, הרי שיש לעשות זאת גם בצד השני. ודרך התרגיל הזה, אם התלמיד מבין את השכל שיש מאחורי הכלל הזה, ואם התלמיד מבין את המשמעות של הכלל המתמטי הזה לחייו האישיים, הרי שקודם כל הוא יבין את הכלל הזה, והוא גם יזכור אותו בלי שום בעיה, והוא ... את העניין של מציאת מכנה משותף. שגם הדבר הזה בא לידי ביטוי בכל תהליך שיש בחיים. וכל התהליכים שיש במתמטיקה, כולם בצורה כלשהי, יש להם משמעות מעשית וממשית, לחיי היום יום של האדם.

... חוקי הפיזיקה שלנו נכונים בכל רחבי היקום? אליעד כהן מציג נקודה חשובה נוספת, והיא שאין לנו וודאות שחוקי הפיזיקה והמתמטיקה שלנו נכונים בכל רחבי היקום. גם אם מדענים ינסו להוכיח שחלק מצורות החיים הן בלתי אפשריות לפי חוקי הפיזיקה ... לכדור הארץ? מהם יקומים מקבילים וכיצד הם קשורים לחייזרים? האם חוקי הפיזיקה שלנו תקפים בכל היקום? האם אפשר להוכיח מתמטית את קיומם של חייזרים? מה ההגדרה של חייזר? האם קיימים חייזרים? מה ההגדרה של חייזר? השאלה המרכזית היא האם ... בכדור הארץ חלים בכל מקום ביקום? אם היינו חייזרים - מדענים המסתמכים על החוקים הפיזיקליים הידועים לנו, יכולנו להוכיח מתמטית שחלק מהצורות האפשריות של חיים אינן יכולות להתקיים. אך אם מבינים שהיקום עשוי להיות בעל אינסוף ממדים וחוקים שונים, הרי שאין הכרח שהמתמטיקה והפיזיקה שלנו תקפים בכל מקום. האם יש יקומים מקבילים ומה משמעותם בהקשר של חייזרים? אם קיימים לא רק מרחב ... לכדור הארץ? מהם יקומים מקבילים וכיצד הם קשורים לחייזרים? האם חוקי הפיזיקה שלנו תקפים בכל היקום? האם אפשר להוכיח מתמטית את קיומם של חייזרים? מה ההגדרה של חייזר? ש: יכול להיות דבר כזה. אליעד: מה אתה רוצה לדעת? ש: ... לא באמת יכול להיות בטוח שמה שנכון פה נכון שם, כי אתה לא יכול להיות בטוח גם אם תוכיח מתמטית אולי המתמטיקה שלך לא נכונה ושמה זה אחרת אולי מתמטית אתה תגיד לא אני יכול להוכיח מתמטית ששם זה ככה אבל איך אתה יכול להוכיח שהמתמטיקה שלך נכונה אולי המתמטיקה שלך היא עצמה טעות מלכתחילה ולמרות שהמתמטיקה שלך מוכיחה ששם זה ככה שם זה הפוך. ולכן אנחנו עוד פעם חזרנו למרחב מקום וזמן הם אינסופיים פלוס ...

... פחות יסודיים, פחות יעילים או פחות מנוסים? כל אחד מהדברים האלה יכול להיות היתרון הייחודי שלך. דוגמה נוספת: מורה למתמטיקה נניח שאתה מורה למתמטיקה. כששואלים אותך על היתרונות שלך, אתה לא יודע מה לענות. במקרה כזה, כדאי לך לדמיין מורה אחר למתמטיקה, ולחשוב: האם ייתכן שיש מורה למתמטיקה שהוא פחות טוב ממני? התשובה לרוב תהיה חיובית. ואז תוכל לשאול את עצמך: במה הוא פחות טוב ממך? האם ... מנהרות בצורה פחות טובה ממך, אז במה שהם פחות טובים - זה היתרונות שלך. עוד דוגמה: נניח שאתה מורה למתמטיקה. מה היתרונות שלך? תדמיין מורה אחר למתמטיקה. האם יכול להיות שהוא מלמד פחות טוב ממך? במה בדיוק הוא פחות טוב ממך? האם הוא פחות ברור? פחות ...

... אליעד מציג דוגמה מאוד ברורה שממחישה את החשיבות של הצגת תהליכי חשיבה, במיוחד כשאין תשובה ברורה: אם ניקח שאלה מתמטית שלגביה ידוע שאין לה תשובה, ונלך לאדם ברחוב ונשאל אותו את השאלה הזאת, הוא יגיד בפשטות אני לא יודע. לעומת זאת, אם נשאל פרופסור למתמטיקה את אותה השאלה בדיוק, גם הוא יגיד אני לא יודע. אבל הלא יודע של הפרופסור שונה לחלוטין מהלא יודע של האדם הממוצע ברחוב. האדם ברחוב לא יודע משום שהוא פשוט בור בנושא, ואילו הפרופסור למתמטיקה לא יודע משום שהוא חקר את השאלה לעומק, בדק ובחן נתונים רבים, ולבסוף הבין שאין לשאלה הזאת תשובה אפשרית. ... מה הוא ניסה להבין - ולהראות שהוא הגיע למסקנה שאין תשובה ברורה. לדוגמה, אם תשאלו אדם אקראי ברחוב שאלה מתמטית שאין לה פתרון, הוא עשוי לומר אני לא יודע וזה יישמע כאילו הוא לא מבין בתחום. לעומת זאת, אם תשאלו פרופסור למתמטיקה את אותה שאלה, גם הוא עשוי לומר אני לא יודע, אבל במקרה שלו זה אומר שהוא חקר את הנושא ...

... הפתרון? אליעד מבהיר שכדי למצוא את הדרך לתשובה, חשוב לפשט את השאלה ככל האפשר. הוא משתמש בדוגמה של תרגיל במתמטיקה כדי להבהיר את הרעיון: אם יש לנו תרגיל מתמטי, כמו חצי כפול חצי, אנחנו קודם כל מזהים את הרכיבים הבסיסיים - המספרים, פעולת הכפל וכו. לאחר מכן אנחנו מפשטים את השאלה, מתבוננים בה כמקרה פרטי של פעולה מתמטית כללית יותר, ומחפשים את הנוסחה המתאימה לפתור אותה. לדוגמה, כאשר נשאל כמה זה חצי כפול חצי, המוח שלנו מזהה תחילה את הספרות (אחד, שתיים, והסימנים המתמטיים), ולאחר מכן מפשט את השאלה לסוג כללי של פעולת כפל, ורק אז מיישם את הנוסחה המוכרת לנו מעולם המתמטיקה. התהליך הזה מבהיר לנו בדיוק איך השאלה בנויה ומאפשר לנו למצוא פתרון יעיל. כיצד לזהות את המבנה הבסיסי של ...