אחד ועוד אחד שווה שלוש,
אחד ועוד אחד שווה שתיים,
אחד ועוד אחד לא שווה שתיים, 1 ועוד 1 שווה 3, 1 ועוד 1 שווה 2, 1 ועוד 1 לא שווה 2, הפילוסופיה של המתמטיקה, הוכחה מתמטית, הוכחה לוגית האם באמת
אחד ועוד אחד שווה שתיים? אליעד כהן דן בהרצאה זו בשאלה הפילוסופית והמתמטית האם
אחד ועוד אחד שווה שתיים והאם אפשר בכלל להוכיח שזוהי האמת המוחלטת. הוא פותח בהסבר כי הקביעה
אחד ועוד אחד שווה שתיים אינה עובדה מוחלטת בפני עצמה, אלא תלויה באופן שבו אנחנו מגדירים את המושגים. לדוגמה, אם ניקח שתי אצבעות ונקרא לאחת אחד ולשנייה גם ... הגדרה והסכמה בלבד, והוא מביא לכך דוגמה נוספת: אם נגדיר עצם אחד כאחת ועצם נוסף גם כאחת, ואחר כך נגדיר את התוצאה כשלוש, נקבל למעשה
אחד ועוד אחד שווה שלוש. זו לא תהיה טעות, כי לפי ההגדרה שבחרנו מראש, התוצאה תהיה נכונה לחלוטין. מה ההבדל בין הגדרה להוכחה? אליעד מדגיש שחשוב להבחין בין הגדרה לבין הוכחה מתמטית. כאשר אנו אומרים
אחד ועוד אחד שווה שתיים, אנו למעשה מסתמכים על הגדרה שרירותית, ולכן אי אפשר להוכיח או להפריך אותה כשלעצמה. אך כדי להוכיח
שאחד ועוד אחד אינו שווה לשלוש, לא מספיק רק להגדיר מהו שתיים, אלא צריך גם להניח במפורש מה הוא אינו. כלומר, כדי לקבוע בבירור
שאחד ועוד אחד שווה אך ורק שתיים ולא שלוש, עלינו להגדיר במפורש ששתיים ושלוש הם שני דברים שונים לגמרי, ואין סיכוי שיתערבבו זה עם זה. הוא מדגיש שהבעיה נעוצה ... להיות בו זמנית גם משהו אחר. אנחנו מניחים בלי לשים לב ששתיים הוא מספר מוגדר היטב ונבדל מכל מספר אחר, כמו שלוש. איך אפשר להוכיח
שאחד ועוד אחד לא שווה שלוש? אליעד נותן דוגמה נוספת באמצעות אצבעות: נניח שאנו מגדירים אצבע אחת כאחת, אצבע נוספת גם כאחת, ואת הצירוף של שתיהן כשתיים. האם זה ... שלילית, כי אם לא נגדיר מראש ששתיים שונה משלוש, לא ניתן להוכיח באופן חד משמעי שהתוצאה לא יכולה להיות שלוש. כלומר, כדי להוכיח
שאחד ועוד אחד הם אך ורק שתיים, עלינו להניח הנחה נוספת, שמספר מסוים לא יכול להיות שני דברים שונים בו זמנית. ולכן, כל פעם שאנחנו אומרים
אחד ועוד אחד זה שתיים, אנו עושים זאת תוך הסתמכות על הנחות לא - מפורשות שעלולות להיות נסתרות. מהן ההנחות הסמויות בפעולות חשבון פשוטות? אליעד מדגים כיצד ... משחק הגדרות? הנקודה שאליעד מחדד כאן היא שמתמטיקה, ובכלל כל מערכת לוגית, אינה יותר מאשר משחק של הגדרות. אין אמת מוחלטת בעצם העובדה
שאחד ועוד אחד שווה שתיים. זו רק תוצאה של הגדרה שרירותית שקיבלנו מראש, ולכן היא נכונה רק במסגרת ההגדרות הללו. אם נשנה את ההגדרה הבסיסית, ישתנו גם כל התוצאות ... הנחות חדשות, גם התוצאות ישתנו בהתאם, ולא תהיה שום דרך להוכיח שהן שגויות בלי להסתמך על הגדרות נוספות. לכן, אליעד מסכם שהאמירה
אחד ועוד אחד שווה שתיים נכונה רק במסגרת ההגדרות שנבחרו מראש, והיא איננה אמת אבסולוטית או מוחלטת בפני עצמה. האם
אחד ועוד אחד שווה שתיים? האם
אחד ועוד אחד יכול להיות שווה שלוש? מהי הוכחה מתמטית? האם מתמטיקה היא רק הגדרות? הפילוסופיה של המתמטיקה ...